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振動傳感器現(xiàn)在能看到這里的人,非物理專業(yè)(或者說數(shù)學(xué)專業(yè))的人已經(jīng)不多了,所以我即將換一種輕松而又物理的語調(diào)來敘述這樣一個(gè)優(yōu)美的微振動理論。
一、單自由度、自由振動問題的出發(fā)點(diǎn)是簡單的,我們?nèi)绾蚊枋鲆粋€(gè)在勢能極小值點(diǎn)附近運(yùn)動的物體?
首先,寫出體系的拉格朗日量:
此外,對體系做一個(gè)泰勒展開保留至二階:
當(dāng)我們考慮一個(gè)這樣的運(yùn)動:,其中,并且
那么,選取為一新的廣義坐標(biāo),系統(tǒng)的拉格朗日量就是:
其中
對應(yīng)的拉格朗日方程是:,由于方程不顯含有自變數(shù),先考慮這是一個(gè)周期運(yùn)動。
“振動傳感器傅里葉變換”后得到:
這個(gè)方程有解的的條件(物理要求)是:
由于頻譜上無展寬,而取值為無窮大以保證傅里葉積分的收斂性,從而,其中系數(shù)A、B靠初始條件而定。
帶入方程驗(yàn)證知,這確實(shí)是實(shí)在的解。采取上面的辦法是為多自由度振動和強(qiáng)迫振動做一個(gè)鋪墊,也就是開了車的。
注意到一般是純實(shí)的,可以寫作
二、多自由度、自由振動多自由度,同樣做類似的微振動近似處理,期待的拉格朗日量就是:
其中動能、勢能都是正定的二次型,因此引入
得到,現(xiàn)在問題的思路有兩個(gè):
思路一:傅里葉變換振動傳感器首先獲得其歐-拉方程:
“傅里葉變換”之后,求出其根,并由于積分的收斂性要求:
思路二:二次型對角化方法線性代數(shù)理論告訴我們,對于正定對稱的,可以有如下分解:
首先M可以寫作:,其中是非退化的。
另外,對于對稱正定矩陣相似且合同于一對角陣,即主軸變換,且本征值都是正的:
所以
可以看出,變換之后的拉格朗日量是解耦的,是等效為了一些新坐標(biāo)的直接疊加,而褪去了耦合。
對應(yīng)的微分方程是:
是解耦了的。
變換之后的坐標(biāo)叫做簡正坐標(biāo)。
三、對稱性致簡并矩陣
的譜會存在可能的簡并,這往往對應(yīng)著體系存在一個(gè)對稱操作。
給出一個(gè)簡單的習(xí)題:
中的題
(侵刪)
小問無疑是簡單易求的,順帶求出各模式的簡并程度,從直覺上給出可能的對稱操作。
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